Opredelitev in konstrukcija
Pravilni šesterokotnik je ravna slika, ki ima šest strani enake dolžine in enakih kotov.
Če se spomnimo formule za vsoto kotov poligona
180 ° (n-2),
izkaže se, da je na tej sliki enaka 720 °. Ker so vsi koti slike enaki, je enostavno izračunati, da je vsak od njih enak 120 °.
Narisati šesterokotnik je zelo preprost, za to je dovolj kompasi in ravnila.
Navodila po korakih bodo izgledala takole:
ravna črta je narisana in na njej je postavljena pika;- iz te točke je zgrajen krog (je njegovo središče);
- dva več od istega so zgrajena iz presečišča kroga s črto, morajo se zbližati v sredini.
- po tem se vse točke prvega kroga povezujejo zaporedno po segmentih.
Če želite, lahko to storite brez črte s petimi enakimi krogi po polmeru.
Tako dobljena številka bo pravilen šesterokotnik, kar se lahko dokaže spodaj.
Lastnosti so preproste in zanimive.
Da bi razumeli lastnosti pravilnega šesterokotnika, ga je smiselno razdeliti v šest trikotnikov:
To bo pripomoglo k nadaljnji vizualizaciji njegovih lastnosti, med katerimi so:
- premer opisne kroge;
- premer vpisanega kroga;
- območje;
- meja.
Obkrožena krog in sposobnost gradnje
Lahko si opišete krog okoli šesterokotnika, poleg tega pa samo enega. Ker je ta številka pravilna, je to mogoče storiti preprosto: iz dveh sosednjih vogalov držite v simetrali. Sekajo se v točki O in tvorita trikotnik skupaj s stranjo med njima.
Koti med šesterokotno stranjo in simetralom bosta vsak 60 °, tako da lahko definitivno rečemo, da je trikotnik, na primer AOB, enakokrožen. In ker bo tretji kot tudi enak 60 °, je tudi enakostranični. Iz tega sledi, da sta segmenta OA in OB enaka, kar pomeni, da lahko služita kot polmer kroga.
Po tem lahko greste na naslednjo stran in iz kota v točki C narišete tudi simetrala. Dobili boste še en enakostranični trikotnik, stran AB pa bo skupen za dva naenkrat, OS pa bo drug polmer, skozi katerega gre isti krog. Skupaj bo šest takih trikotnikov, ki bodo imeli skupno točko na točki O. Izkazalo se je, da bo krog lahko opisal, in to je samo eden, njegov polmer pa je enak šestrobi strani:
R = a .
Zato je mogoče to sliko zgraditi s kompasom in ravnilom.
No, območje tega kroga bo standardno:
S = πR²
Vpisan krog
Središče opisne kroge bo sovpadalo s središčem vpisanega. Da bi to preverili, lahko narišemo pravokotnice od točke O do strani šesterokotnika. To bodo višine trikotnikov, ki tvorijo šesterokotnik. V enakokrakega trikotnika je višina srednja stran, na kateri stoji. Ta višina torej ni nič več kot srednja pravokotnica, ki je polmer vpisanega kroga.
Višina enakostraničnega trikotnika je preprosto izračunana:
h² = a²- (a / 2) ² = a²3 / 4, h = a ()3) / 2
In ker je R = a in r = h, se izkaže, da
r = R ()3) / 2 .
Tako vpisani krog poteka skozi središča stranic pravilnega šesterokotnika.
Njegovo območje bo:
S = 3πa² / 4,
to je tri četrtine opisanega.
Območje in območje
Iz oboda je vse jasno, to je vsota dolžin stranic:
P = 6a ali P = 6R
Toda območje bo enako vsoti vseh šestih trikotnikov, v katere se lahko razdeli šesterokotnik. Ker je površina trikotnika izračunana kot polovica produkta osnove po višini, potem:
S = 6 (a / 2) (a ()3) / 2) = 6a² ()3) / 4 = 3a² ()3) / 2 ali
S = 3R2 ()3) / 2
Tisti, ki želijo to območje izračunati s polmerom vpisanega kroga, lahko naredite takole:
S = 3 (2r / )3) ² ()3) / 2 = r² (2√3)
Zabavna gradnja
Trikotnik je lahko vpisan v heksadec, katerega stranice bodo povezovale tocke skozi eno:
Skupno bosta dva izmed njih, in njihovo vsiljevanje drug drugemu bo dal Davidovo zvezdo. Vsak od teh trikotnikov je enakostranski. To ni težko preveriti. Če pogledate stran AU, potem spada v dva trikotnika naenkrat - YOU in AES. Če je v prvem od njih AB = BC, in kot med njimi je 120 °, potem bo vsak od preostalih 30 °. Od tu lahko naredite logične zaključke:
- Višina ABC iz tocke B bo enaka polovici strani šesterokotnika, saj sin30 ° = 1/2. Tistim, ki se želijo prepričati v to, lahko svetujemo, da se preračunajo v skladu s Pitagorovim izrekom, se popolnoma ujema.
- Stran AC bo enaka dvema polmeroma vpisanega kroga, ki se ponovno izračuna po istem izreku. To je AC = 2 (a ()3) / 2) = a ()3).
- Trikotnika ABC, ETS in AEF sta enaka na obeh straneh in kot med njimi, kar pomeni enakost strani AC, CE in EA.
Trikotniki, ki se medsebojno prepletajo, tvorijo nov hex, prav tako pa je tudi pravilen. Dokazano je preprosto:
Kot ABF je enak kotu YOU. Tako nastali trikotnik z osnovo AB in neimenovanim vrhom nasproti njemu je enakokračen.- Vsi isti trikotniki, katerih osnova je stran šesterokotnika, so enaki na boku in na vogalih, ki ležijo ob njem.
- Trikotniki na tockih šesterokotnika so enakostranski in enaki, kar izhaja iz prejšnjega odstavka.
- Vogali novo oblikovanega šesterokotnika so 360-120-60-60 = 120 °.
Tako slika ustreza značilnostim pravilnega šesterokotnika - ima šest enakih strani in kotov. Iz enakosti trikotnikov v tockah je enostavno dolociti dolžino strani novega šesterokotnika:
d = a ()3) / 3
To bo polmer oboda, opisanega okoli njega. Polmer zapisa bo pol velikosti velikega šesterokotnika, kar je bilo dokazano pri trikotniku ABC. Njegova višina je le polovica strani, zato je druga polovica polmer kroga, vpisanega v mali šesterokotnik:
r₂ = a / 2
Površina novega šesterokotnika se lahko izračuna na naslednji način:
S = (3 ()3) / 2) (a ()3) / 3) ² = a ()3) / 2
Izkazalo se je, da je območje šesterokotnika v Davidovi zvezdi trikrat manjše od velikega, v katerem je zapisana zvezda.
Od teorije do prakse
Lastnosti šesterokotnika se zelo aktivno uporabljajo tako v naravi kot na različnih področjih človekovega delovanja. Prvič, gre za vijake in matice - kape prve in druge so nič več kot običajen šesterokotnik, če ne upoštevate posnetja. Velikost ključev ustreza premeru vpisanega kroga - to je razdalja med nasprotnima stranema.
Šestkotna ploščica je našla tudi svojo uporabo. Je veliko manj razširjena kot kvadratna, vendar je bolj primerno, da jo položimo: na eni točki se srečajo tri ploščice, ne štiri. Skladbe so lahko zelo zanimive:
Na voljo so tudi betonske ploščice za tlakovanje.
Razširjenost šesterokotnikov v naravi je preprosto pojasnjena. Tako je najlažji način za tesno prileganje krogov in žog v ravnini, če imajo enak premer. Zaradi tega imajo satje takšno obliko.